ホースの先を少しつぶすと、水が急に遠くまで飛ぶのはなぜでしょうか。
ポンプの吐出量は同じでも、出口を細くすると同じ水量を狭い断面に通す必要があります。
その結果、出口の流速が上がり、勢いのある噴流として見えるようになります。
この関係を表す基本式が、質量保存を流れに適用した連続の式です。
本記事では、連続の式の意味、体積流量と質量流量、配管径変更の計算例、ベルヌーイの定理との関係まで解説します。
- 1. 連続の式とは：質量保存を流れで表す式
- 2. 基本形：体積流量と質量流量を分けて考える
- 3. 非圧縮性流体の連続の式：水や油の基本計算
- 4. 圧縮性流体の連続の式：空気や蒸気での考え方
- 5. 流量計算の手順：単位と断面積でミスを防ぐ
- 6. 計算例：配管径変更と流量から流速を求める
- 7. ベルヌーイの定理との関係：速度と圧力をつなぐ
- 8. 実務上の注意点：連続の式だけで完結しない
- 9. まとめ：連続の式は流量計算の出発点
1. 連続の式とは：質量保存を流れで表す式
連続の式とは、流体が流れるときに質量が保存されることを数式で表したものです。
水や空気は、流路の途中で突然増えたり消えたりするわけではありません。
入口から入った量は、漏れや分岐がない限り出口から同じだけ出ていきます。
この単純な原則が、配管、ノズル、流量計、ポンプまわりの計算の出発点になります。
質量保存を流れに適用する
質量保存とは、閉じた範囲で物質の質量が勝手に増減しないという考え方です。
流体では、この範囲を配管の一部やノズルの内部として考えます。
定常状態であれば、その範囲にたまる質量は増えも減りもしません。
したがって、単位時間に入る質量と単位時間に出る質量は等しくなります。
連続の式は、流れを「質量の収支」として見るための式です。
圧力やエネルギーより前に、まず出入りする量が合っているかを確認します。
検査体積をどう置くかで、連続の式の使いやすさが変わります。
配管の入口から出口までを一つの検査体積にすれば、全体の流量収支を確認できます。
ノズルの絞り部だけを切り出せば、入口断面と最小断面の流速比を直接計算できます。
タンクを含めて切り出す場合は、タンク内に水がたまるか減るかも収支に入ります。
つまり連続の式は、単なる暗記式ではなく「どこを境界として見るか」を決める考え方です。
断面積が変わると流速が変わる
同じ流量が通るなら、流路の断面積が小さい場所ほど流速は大きくなります。
広い道路から細い道に車が流れ込むと、同じ台数を通すために密度や速度の関係が変わるイメージです。
水道ホースの出口を指で絞ると、出口面積が小さくなります。
その状態でもポンプや水圧が供給する水量が大きく変わらなければ、出口では流速が上がります。
連続の式は、この「細くなるほど速くなる」という直感を定量化します。
ただし実際には、絞りによる圧力損失やポンプ特性も同時に効くため、流量が完全に一定とは限りません。
2. 基本形：体積流量と質量流量を分けて考える
連続の式を理解するには、体積流量と質量流量を分けることが重要です。
液体の配管設計では体積流量がよく使われ、空気や蒸気では質量流量が重要になります。
どちらも「単位時間あたりにどれだけ流れるか」を表しますが、保存される意味が違います。
圧縮性の有無によって、使うべき流量の見方を切り替えます。
体積流量：断面積と平均流速の積
体積流量は、単位時間に断面を通過する体積です。
記号は を使うことが多く、単位は
や
です。
断面積を 、断面平均流速を
とすると、基本式は次のようになります。
ここで重要なのは、 が局所速度ではなく断面平均流速である点です。
実際の管内では壁面付近の速度は小さく、中心付近の速度は大きくなります。
連続の式で使う流速は、それらを断面全体で平均した代表値です。
質量流量：密度を含めた流れの量
質量流量は、単位時間に断面を通過する質量です。
記号は を使い、単位は
です。
密度を 、断面積を
、平均流速を
とすると、次の式になります。
質量保存で本質的に保存されるのは、この質量流量です。
水のように密度がほぼ一定なら、質量流量が一定であることは体積流量が一定であることと同じ意味になります。
一方で気体のように密度が変わる流れでは、体積流量だけを見ると判断を誤ります。
工場設備では、同じ流れを複数の単位で表すことがあります。
ポンプでは 、空調では
、ガスでは標準状態換算の流量が使われます。
どの単位でも本質は同じですが、温度や圧力を含むかどうかで意味が変わります。
特に空気配管では、実際の配管内体積流量と、標準状態に換算した流量を混同しやすいです。
流量計の表示値を使うときは、実流量なのか、標準状態換算流量なのかを確認する必要があります。
| 項目 | 体積流量 | 質量流量 |
|---|---|---|
| 記号 | ||
| 代表単位 | ||
| 基本式 | ||
| 向く場面 | 水、油などの液体配管 | 空気、蒸気、高速気体 |
3. 非圧縮性流体の連続の式：水や油の基本計算
非圧縮性流体とは、圧力が変わっても密度変化が小さい流体です。
実務では、水、油、冷却水、一般的な液体配管を非圧縮性として扱うことが多いです。
この場合、密度が一定とみなせるため、連続の式はとても簡単になります。
配管径が変わる場面では、この式だけで各部の流速をすぐに見積もれます。
基本式 
非圧縮性流体では、密度 が入口と出口で同じです。
そのため、質量流量の式 から密度を消すことができます。
入口側を1、出口側を2とすると、連続の式は次の形になります。
これは、入口の体積流量と出口の体積流量が等しいことを示しています。
断面積が変わっても、漏れや分岐がなければ同じ体積流量が流れます。
配管の途中で径を変えるとき、まずこの式で流速の変化を確認します。
なお、非圧縮性という言葉は「絶対に密度が変わらない」という意味ではありません。
工学計算で無視できるほど密度変化が小さい、という近似の意味で使われます。
水も非常に高い圧力をかければわずかに体積が変わりますが、通常の配管計算ではその影響は小さいです。
この割り切りによって、流量計算を だけで扱えるようになります。
近似の前提を理解しておくと、どこまで単純化してよいかを判断しやすくなります。
断面積と流速は反比例する
連続の式から、断面積と流速は反比例することが分かります。
断面積が半分になれば、同じ流量を通すために流速は約2倍になります。
円管の場合、断面積は直径の2乗に比例します。
そのため、管径を半分にすると断面積は4分の1になります。
同じ流量を通すなら、流速は4倍になる計算です。
管径変更の影響は見た目以上に大きいため、流速、圧力損失、騒音、摩耗をセットで確認する必要があります。
分岐・合流では足し算の収支になる
非圧縮性流体でも、分岐や合流があると式は少し変わります。
一本の主管から二本の枝管に分かれる場合、主管の体積流量は枝管流量の合計になります。
各枝管について を使えば、それぞれの流速を求められます。
合流では逆に、複数の流入量を足したものが下流側の流量になります。
この考え方は、冷却水マニホールド、薬液供給ライン、空調ダクトの風量分配などでよく使います。
各枝の流量配分は圧力損失にも左右されるため、連続の式だけでは配分までは決まりません。
| 断面積の変化 | 流速の変化 | 意味 |
|---|---|---|
| 2倍 | 1/2倍 | 広がると遅くなる |
| 1/2倍 | 2倍 | 狭まると速くなる |
| 1/4倍 | 4倍 | 直径半分の円管に近い |
4. 圧縮性流体の連続の式：空気や蒸気での考え方
空気や蒸気のような気体では、圧力や温度によって密度が変わります。
密度が変わる流れでは、体積流量が場所によって変わっても不思議ではありません。
たとえば圧縮空気は、同じ質量でも高圧側では体積が小さく、低圧側では体積が大きくなります。
そのため、気体を扱う場合は質量流量を基準に考える必要があります。
密度を含めた式 
圧縮性流体の基本形は、密度を含めた質量流量の式です。
入口と出口で密度が同じとは限らないため、 と
だけでは流れを表せません。
同じ質量流量でも、密度が下がれば体積流量は増えます。
配管内の空気、蒸気、排気、ガス供給ラインでは、この違いが重要になります。
標準状態換算流量と実流量が混ざると、機器選定で大きなズレが出ます。
圧縮空気の設備では、コンプレッサの吐出量、機器の消費空気量、配管内の実流速を同じ単位で比較しないと判断を誤ります。
たとえば「標準状態での毎分流量」は、配管内の圧力が高い場所の実体積流量とは一致しません。
圧力が高いほど同じ質量の空気は小さな体積に圧縮されるため、実際の配管内流速は表示流量から直接は読めません。
空気圧機器の選定では、カタログの基準状態、供給圧力、温度条件を合わせて確認します。
この整理を怠ると、配管径を過小に見積もり、圧力降下や応答遅れの原因になります。
低速気体では非圧縮近似できる場合がある
すべての気体計算で、常に圧縮性を厳密に扱う必要があるわけではありません。
低速で圧力変化が小さい空調ダクトや一般換気では、密度一定として近似することがあります。
一方で、ノズル噴射、圧縮空気の急な減圧、蒸気ライン、音速に近い流れでは注意が必要です。
密度変化を無視すると、流速や流量の見積もりが実際と合わなくなります。
設計では、圧力比、温度変化、マッハ数、メーカーの計算条件を確認します。
迷う場合は、体積流量ではなく質量流量に戻して収支を取ると整理しやすくなります。
5. 流量計算の手順：単位と断面積でミスを防ぐ
連続の式は簡単ですが、実務で間違いやすいのは単位換算と断面積です。
特に、、
、
が混在すると桁違いのミスが起きます。
また、配管の呼び径と内径は必ずしも同じではありません。
計算では、実際に流体が通る内径から断面積を求めることが基本です。
Step 1：流量をSI単位にそろえる
まず、流量を にそろえます。
たとえば は、1分あたり60リットルです。
なので、60リットルは
です。
これを60秒で割ると、 になります。
このように時間単位と体積単位を同時にそろえると、計算の見通しがよくなります。
流量計やポンプカタログでは単位が異なるため、最初に必ず統一しましょう。
Step 2：内径から断面積を計算する
次に、流体が通る断面積を求めます。
円管なら、内径 から次の式で計算します。
ここで はメートルで入力します。
内径20mmなら です。
ミリメートルのまま式に入れると、面積の単位が になってしまいます。
そのまま の流量と組み合わせると、流速が100万倍ずれるので注意が必要です。
| 単位 | 換算 | 注意点 |
|---|---|---|
| 水配管で多い | ||
| 空調・ポンプで多い | ||
| 面積では二乗で効く |
6. 計算例：配管径変更と流量から流速を求める
ここでは、連続の式を実際の数字で使ってみます。
難しい流体力学の式を使わなくても、断面積と流速だけで基本的な見積もりができます。
設計の初期段階では、まずこのレベルの計算で流速の妥当性を確認します。
そのうえで、圧力損失、ポンプ揚程、キャビテーション、騒音などを詳しく検討します。
計算例1：内径25mmから15mmへ絞る
内径25mmの配管を流速1.5m/sで水が流れているとします。
途中で内径15mmの配管に絞ったとき、流速がどう変わるかを求めます。
連続の式より、次の関係が成り立ちます。
円管の断面積は直径の2乗に比例するため、面積比は直径比の2乗で求められます。
内径を25mmから15mmへ絞ると、流速は約2.78倍になります。
流速が上がると、摩擦による圧力損失も増えるため、圧力損失とは何かの確認が必要です。
この計算結果を見ると、内径変更が流速に与える影響の大きさが分かります。
流速4m/s台は、用途によっては許容できる場合もありますが、騒音や損失を嫌うラインでは高すぎる可能性があります。
冷却水、潤滑油、薬液、スラリーでは、適切な流速範囲がそれぞれ異なります。
したがって連続の式の計算結果は、単なる数字ではなく、後段の設計判断に渡す入力値として扱います。
計算例2：30L/minを内径20mmに流す
次に、体積流量から配管内の平均流速を求めます。
条件は、流量30L/min、配管内径20mmとします。
まず、流量を に直します。
内径20mmの断面積は、次のように求めます。
したがって平均流速は、次のようになります。
このように、流量と内径が分かれば、配管内の平均流速を簡単に見積もれます。
流速が大きいほど圧力損失は増えやすく、流れの状態はレイノルズ数でも確認します。
このような計算は、既設配管に機器を追加するときにも役立ちます。
流量だけを見ると十分に感じても、内径が小さい配管では流速が大きくなります。
流速が大きいと、エルボ、バルブ、ストレーナなどの局所損失も無視しにくくなります。
逆に、流速が極端に小さい場合は、配管内の空気抜けや沈降、温度むらが問題になることがあります。
連続の式で平均流速を出すことは、こうした設計リスクを見つける入口になります。
7. ベルヌーイの定理との関係：速度と圧力をつなぐ
連続の式は、流量と流速の関係を与える式です。
一方、ベルヌーイの定理は、流速、圧力、高さのエネルギー関係を与えます。
配管が細くなって流速が上がると、理想的には静圧が下がります。
この速度変化と圧力変化をつなげることで、流量計やノズルの原理を説明できます。
連続の式は速度を決める
絞り部を持つ流路では、まず連続の式で広い部分と狭い部分の流速比を求めます。
断面積が小さい絞り部では、同じ流量を通すために流速が上がります。
この段階では、圧力がいくら下がるかはまだ分かりません。
連続の式が教えてくれるのは、あくまで「流量が同じなら速度がどう変わるか」です。
圧力の変化を知るには、エネルギー保存の式であるベルヌーイの定理を組み合わせます。
この二つをセットで使うと、流量、流速、圧力差を一貫して扱えます。
ベルヌーイの定理を使うときは、理想流体の前提にも注意します。
実際の配管では粘性による摩擦損失があり、エルボやバルブでは局所損失も発生します。
そのため、上流と下流のエネルギー差がそのまますべて圧力と速度の変換になるわけではありません。
連続の式で速度を求め、ベルヌーイの式で理想的な圧力変化を見積もり、最後に損失を差し引く流れで考えます。
この順番で整理すると、式の役割を混同しにくくなります。
流量計の原理に使われる
ベンチュリ管やオリフィスでは、流路を意図的に絞って流速を上げます。
流速が上がった部分では静圧が下がるため、上流側との圧力差が発生します。
この圧力差を測り、連続の式とベルヌーイの定理から流量を逆算します。
この考え方は、ベンチュリー効果とは何かやオリフィスの流量計算で詳しく扱われます。
ただし実際の流量計では、粘性、縮流、乱れ、損失を補正する係数が必要です。
また、流量が一定でも、断面形状が急に変わる場所では渦やはく離が起きます。
連続の式は平均流速の収支を保ちますが、局所的な乱れや損失の大きさまでは直接示しません。
急拡大や急縮小を避け、テーパや曲率を持たせる設計にすると、速度変化を滑らかにできます。
この点は、ノズル、ディフューザ、ダクト、油圧マニホールドの設計で特に重要です。
流量を満たすだけでなく、流れを乱さずに通す視点を持つと、騒音や圧力損失を抑えやすくなります。
理想式だけで流量を決めるのではなく、規格やメーカー資料に従って補正することが重要です。
8. 実務上の注意点：連続の式だけで完結しない
連続の式は、流れの収支を確認するための強力な道具です。
しかし、連続の式だけで圧力損失や必要ポンプ動力まで決められるわけではありません。
流速が求まっても、その流れが層流か乱流か、損失がどれだけかは別に検討します。
実務では、連続の式を最初の整理式として使い、後段でほかの式と組み合わせます。
漏れ・分岐・合流があると式の形が変わる
一本の配管で漏れも分岐もない場合は、入口流量と出口流量は等しくなります。
しかし、途中で分岐がある場合、上流流量は下流の各枝の流量の合計になります。
合流がある場合は、複数の流入量を足したものが下流流量になります。
漏れがある場合は、入口流量から漏れ量を差し引いて出口流量を考えます。
このような場合でも、基本は質量収支です。
単純に と置く前に、どこを検査体積として切り出すかを決める必要があります。
また、時間的に流れが変わる非定常流では、検査体積の中に質量がたまる項を無視できません。
タンクに水を入れている途中や、ポンプ起動直後の配管では、入口流量と出口流量が瞬間的に一致しないことがあります。
この場合は、入った量と出た量の差が、内部に蓄積される量になります。
定常流の式は便利ですが、立ち上げ、停止、脈動、バッチ供給では前提を確認する必要があります。
計算対象が定常状態なのか過渡状態なのかを先に分けると、式の使い方を誤りにくくなります。
流速分布と代表断面に注意する
連続の式で使う流速は、断面全体の平均流速です。
実際の流れでは、壁面の粘性によって速度分布が生じます。
層流では放物線状の分布になり、乱流では中心部が比較的平らな分布になります。
流速計で一点だけを測った値を、そのまま平均流速として使うと誤差になります。
ピトー管の流速測定でも、測定位置と平均化の考え方が重要です。
また、配管の呼び径ではなく実内径を使うこと、バルブや継手の狭い部分を見落とさないことも大切です。
9. まとめ：連続の式は流量計算の出発点
連続の式は、流体の質量保存を表すもっとも基本的な式です。
流路に漏れや分岐がなければ、入口と出口の質量流量は等しくなります。
水や油のような非圧縮性流体では、体積流量が一定として扱えます。
空気や蒸気のように密度が変わる流れでは、質量流量で考える必要があります。
押さえるべき基本式
最初に押さえる式は、体積流量の式 です。
非圧縮性流体では、入口と出口で が成り立ちます。
圧縮性流体では、密度を含めて と考えます。
この三つを区別できれば、配管径変更、ノズル、流量計の基礎計算を整理できます。
式を覚えるだけでなく、どの流量が保存されているのかを意識することが重要です。
次に確認する設計項目
連続の式で流速を求めたら、次はその流速が妥当かを確認します。
流速が高すぎると、圧力損失、騒音、摩耗、振動、キャビテーションのリスクが増えます。
流速が低すぎると、沈降、空気だまり、熱交換性能低下などが問題になる場合があります。
最終的には、連続の式、ベルヌーイの定理、圧力損失計算、レイノルズ数を組み合わせて判断します。
このため、連続の式で得た流速は、配管サイズを決めるための最初の判定値になります。
計算値が想定より大きい場合は、管径を上げる、並列配管にする、流量を分けるなどの対策を検討します。
逆に計算値が小さすぎる場合は、滞留や沈降が起きないかを確認します。
連続の式は単独で完結する公式ではなく、流体設計全体を始めるための入口です。
