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応力とは？計算式と安全率・許容応力を解説

機械工学 機械工学-プロセス

「この部品は、どれくらいの力まで耐えられるのか？」

機械設計で強度を確認するとき、最初に見るべき指標が応力です。

同じ1000Nの荷重でも、太い部材にかかる場合と、細いピンや薄い板にかかる場合では危険度がまったく違います。

その違いを数値で表すのが、単位面積あたりの力である応力です。

ただし、実務では \sigma = \dfrac{F}{A} だけを覚えていても不十分です。

引張応力、圧縮応力、せん断応力、曲げ応力、熱応力、応力集中、許容応力、安全率まで理解して初めて、壊れにくい設計判断ができます。

本記事では、応力とは何か、基本計算式、単位、応力の種類、許容応力と安全率の考え方、CAEで使うミーゼス応力までを、機械設計の実務目線でわかりやすく解説します。

 

 

1. 応力とは何か

応力とは、外から力を受けた部材の内部に発生する、単位面積あたりの抵抗力です。

英語では Stress と呼ばれ、記号には主に \sigma や \tau を使います。

最も基本的な定義は、次の式で表されます。

 

\sigma = \dfrac{F}{A}

 

  • \sigma：応力 \mathrm{N/mm^2} または \mathrm{MPa}
  • F：部材に作用する力、荷重 \mathrm{N}
  • A：力を受ける断面積 \mathrm{mm^2}

例えば、1000Nの引張荷重を、断面積100mm²の部材で受ける場合、応力は10MPaです。

同じ1000Nでも、断面積が10mm²しかなければ応力は100MPaになります。

つまり、部品が壊れるかどうかを判断するときは、荷重そのものではなく、荷重がどの断面にどれだけ集中しているかを見る必要があります。

これが、強度設計で応力を使う最大の理由です。

 

荷重と応力の違い

荷重は、部材全体に加わる力の大きさです。

一方、応力は、その荷重をどれだけの面積で受けているかを考慮した値です。

項目 意味 主な単位 設計で見るポイント
荷重 部材に加わる力そのもの N、kN、kgf 外力・自重・締付力・衝撃力
応力 単位面積あたりに発生する内部抵抗 MPa、N/mm² 材料強度や許容応力との比較

体重60kgの人が普通の床に立っても問題ありませんが、一本の針の上に立てば危険です。

体重という荷重は同じでも、力を受ける面積が極端に小さくなるため、局所的な応力が大きくなるからです。

機械部品でも同じで、ピン、ボルト、薄板、キー溝、穴まわりなどでは、荷重よりも応力の集中具合が重要になります。

 

2. 応力の単位とMPaの意味

機械設計で最もよく使う応力の単位は、 \mathrm{MPa} です。

\mathrm{MPa} はメガパスカルのことで、 \mathrm{N/mm^2} と同じ値として扱えます。

 

1\,\mathrm{MPa} = 1\,\mathrm{N/mm^2}

 

これは、1mm²の面積に1Nの力がかかったときの応力が1MPaという意味です。

例えば、SS400の引張強さが400MPa程度と表現される場合、1mm²あたり約400Nの引張力に相当する強さを持つと考えられます。

ただし、引張強さは破断に近い限界値であり、通常設計でそのまま使う値ではありません。

実務では、降伏点や引張強さを安全率で割った許容応力と、実際に発生する応力を比較します。

 

Pa、MPa、N/mm²の換算

単位 意味 換算 使われる場面
Pa N/m² 1Pa = 1N/m² 流体圧力、圧力計算
MPa 百万Pa 1MPa = 1,000,000Pa 材料強度、機械設計
N/mm² 1mm²あたりの力 1N/mm² = 1MPa 断面積をmm²で扱う設計計算

機械図面では寸法をmmで扱うことが多いため、断面積はmm²、応力はN/mm²またはMPaで考えると計算しやすくなります。

一方、流体や圧力容器の計算ではPaやkPaも頻繁に使います。

単位を混在させると、1000倍や100万倍の桁違いが起きるため、計算前に単位系をそろえることが重要です。

 

3. 応力の基本計算例

ここでは、最も基本となる引張応力の計算例を確認します。

丸棒や板材に引張荷重がかかる場面を考えると、応力の意味を理解しやすくなります。

 

例1：丸棒に引張荷重がかかる場合

直径10mmの丸棒に、5000Nの引張荷重がかかるとします。

丸棒の断面積 A は、次の式で求めます。

 

A = \dfrac{\pi d^2}{4}

 

直径 d = 10\,\mathrm{mm} を代入すると、

 

A = \dfrac{\pi \times 10^2}{4} \approx 78.5\,\mathrm{mm^2}

 

応力は荷重を断面積で割るため、

 

\sigma = \dfrac{5000}{78.5} \approx 63.7\,\mathrm{MPa}

 

この丸棒には、約63.7MPaの引張応力が発生していることになります。

次に、この値を材料の許容応力と比較します。

許容応力が120MPaであれば安全側ですが、許容応力が50MPaであれば設計見直しが必要です。

 

例2：板材の断面積が小さい場合

幅20mm、厚さ2mmの板材に、同じ5000Nの引張荷重がかかる場合を考えます。

断面積は、

 

A = 20 \times 2 = 40\,\mathrm{mm^2}

 

したがって、応力は次のようになります。

 

\sigma = \dfrac{5000}{40} = 125\,\mathrm{MPa}

 

丸棒の例では63.7MPaでしたが、板材では125MPaまで上がります。

荷重が同じでも、断面積が小さいと応力が大きくなり、破損リスクが高まることがわかります。

実務では、穴あき板、薄肉部、切欠き部、溶接止端部などで有効断面積が小さくなるため注意が必要です。

 

4. 応力の種類｜引張・圧縮・せん断・曲げ・ねじり

応力は、荷重のかかり方によって種類が変わります。

同じ材料でも、引っ張る、押す、曲げる、ねじる、ずらすでは、破損の起き方が異なります。

設計では、どの種類の応力が支配的かを見極めることが重要です。

応力の種類 記号 発生する荷重 代表例
引張応力 \sigma 部材を引き伸ばす力 ワイヤ、ボルト、ロッド
圧縮応力 \sigma 部材を押し縮める力 柱、スペーサ、プレス部品
せん断応力 \tau 断面をずらす力 ピン、リベット、キー
曲げ応力 \sigma_b 部材を曲げるモーメント 梁、ブラケット、アーム
ねじり応力 \tau_t 軸をねじるトルク シャフト、カップリング、工具軸

 

引張応力と圧縮応力

引張応力は、部材を引き伸ばす方向に荷重がかかったときに発生します。

ボルトを引っ張る軸力、ワイヤロープの張力、吊り具の荷重などが代表例です。

圧縮応力は、部材を押し縮める方向に荷重がかかったときに発生します。

柱やスペーサのように、圧縮荷重を受ける部品で重要になります。

金属材料では引張と圧縮の強度が近い場合も多いですが、コンクリート、鋳鉄、セラミックスのような脆性材料では、引張に弱く圧縮に強い傾向があります。

そのため、材料ごとの強度特性を確認して設計する必要があります。

 

せん断応力

せん断応力は、断面を滑らせるような力によって発生します。

ピンで部材を支持する構造、ボルトでプレートを固定する構造、キーで軸と歯車を結合する構造などで重要です。

基本式は次の通りです。

 

\tau = \dfrac{F}{A}

 

式の形は引張応力と似ていますが、評価すべき断面が異なります。

せん断では、部材が切断される面、ずれようとする面を断面積として考えます。

ボルトやピンでは、単せん断か両せん断かによって有効断面積が変わるため、計算時に構造を確認する必要があります。

せん断力や曲げモーメントの基礎を詳しく確認したい場合は、関連記事の 設計者のためのせん断力・曲げモーメント入門 も参考になります。

 

曲げ応力

曲げ応力は、梁やアームに曲げモーメントが作用したときに発生します。

片持ちブラケット、フレーム、レバー、シャフトのたわみ計算などで頻繁に登場します。

曲げ応力の代表式は次の通りです。

 

\sigma_b = \dfrac{M}{Z}

 

  • \sigma_b：曲げ応力 \mathrm{MPa}
  • M：曲げモーメント \mathrm{N \cdot mm}
  • Z：断面係数 \mathrm{mm^3}

曲げでは、断面の外側ほど応力が大きくなり、中立軸付近では応力が小さくなります。

そのため、同じ断面積でも、材料を外側に配置したH形鋼やパイプは曲げに強くなります。

 

ねじり応力

ねじり応力は、軸にトルクがかかったときに発生するせん断応力です。

モーター軸、カップリング、ドライブシャフト、工具軸などで重要になります。

丸軸のねじり応力は、一般に次のように評価します。

 

\tau_t = \dfrac{T}{Z_p}

 

  • \tau_t：ねじりせん断応力 \mathrm{MPa}
  • T：トルク \mathrm{N \cdot mm}
  • Z_p：極断面係数 \mathrm{mm^3}

軸の中心ではねじり応力は小さく、外周部で最大になります。

そのため、シャフトのキー溝や段付き部のように外周に形状変化がある部分では、応力集中も同時に考慮する必要があります。

 

5. 応力とひずみの関係

応力を受けた部材は、わずかに伸びたり縮んだりします。

この変形の割合をひずみと呼びます。

ひずみは、元の長さに対する変形量の割合です。

 

\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}

 

  • \varepsilon：ひずみ
  • \Delta L：伸び量または縮み量 \mathrm{mm}
  • L：元の長さ \mathrm{mm}

ひずみは長さを長さで割った値なので、基本的には無次元量です。

ただし、実務では \mu\varepsilon、つまりマイクロストレインで表すこともあります。

 

フックの法則とヤング率

材料が弾性範囲にあるとき、応力とひずみは比例します。

この関係をフックの法則と呼びます。

 

\sigma = E\varepsilon

 

  • E：ヤング率、縦弾性係数 \mathrm{MPa} または \mathrm{GPa}
  • \varepsilon：ひずみ

ヤング率は、材料の変形しにくさを表す値です。

鉄鋼材料は約200GPa、アルミニウムは約70GPa程度であり、同じ形状・同じ荷重なら鉄鋼の方がアルミより変形しにくくなります。

ただし、ヤング率が高いことと、破断しにくいことは同じではありません。

ヤング率は剛性、降伏点や引張強さは強度を表すため、設計では分けて考える必要があります。

応力とひずみの関係をさらに詳しく確認したい場合は、応力-ひずみ曲線でわかる材料の強さと伸び もあわせて確認すると理解しやすくなります。

 

6. 許容応力と安全率の考え方

発生応力を計算しただけでは、設計が安全かどうかは判断できません。

必ず、材料が許容できる応力と比較する必要があります。

このとき使うのが許容応力です。

 

\sigma_{a} = \dfrac{\sigma_{b}}{S}

 

  • \sigma_{a}：許容応力 \mathrm{MPa}
  • \sigma_{b}：基準となる強さ \mathrm{MPa}
  • S：安全率

基準となる強さには、降伏点、耐力、引張強さ、疲労限度などを使います。

どの値を基準にするかは、部品の壊れ方や使用条件によって変わります。

塑性変形を避けたい一般的な機械部品では、降伏点や0.2%耐力を基準にすることが多いです。

一方、破断を問題にする吊り具やワイヤでは、引張強さを基準にする場合もあります。

 

安全率はなぜ必要か

安全率は、計算値と実機の差を吸収するための余裕です。

設計計算では、荷重、材料、加工、組付け、使用環境を完全には再現できません。

そのため、材料の限界値をそのまま使うのではなく、安全率で割って許容応力を決めます。

不確定要素 具体例 応力への影響
荷重のばらつき 衝撃荷重、偏荷重、過負荷 想定より大きな応力が発生する
材料のばらつき ロット差、熱処理差、欠陥 実際の強度が低くなる
加工・形状誤差 傷、バリ、R不足、穴位置ずれ 応力集中が大きくなる
環境影響 腐食、高温、繰返し荷重 強度低下や疲労破壊につながる

 

安全率の目安

安全率に絶対的な万能値はありません。

業界基準、社内標準、法規、実績、破損時の影響を踏まえて決めます。

対象 安全率の考え方 注意点
静荷重を受ける一般部品 比較的小さめでも成立しやすい 応力集中や組付け誤差を確認する
衝撃や振動を受ける部品 余裕を大きめに取る 疲労強度も確認する
人身事故につながる部品 規格・法規・社内基準を優先 独自判断で安全率を下げない
軽量化が重要な部品 解析・試験で根拠を作る 安全率だけでなく検証体制が必要

よくある失敗は、「安全率を大きくしたから安心」と考えて、応力集中や疲労を見落とすことです。

安全率は重要ですが、形状、荷重条件、材料特性、使用環境を確認したうえで意味を持ちます。

 

7. 応力集中とは｜穴・段差・角部で応力が大きくなる理由

実際の機械部品では、応力が断面全体に均一に分布するとは限りません。

穴、キー溝、段付き部、ねじ谷、溶接止端部、鋭い角部などでは、局所的に応力が高くなります。

これを応力集中と呼びます。

 

\sigma_{max} = K_t \sigma_{nom}

 

  • \sigma_{max}：最大応力 \mathrm{MPa}
  • K_t：応力集中係数
  • \sigma_{nom}：公称応力、平均的な応力 \mathrm{MPa}

例えば、公称応力が80MPaでも、応力集中係数が3であれば、局所的な最大応力は240MPaになります。

この局所応力が降伏点や疲労強度を超えると、計算上は安全に見える部品でも亀裂が発生します。

 

応力集中を小さくする設計ポイント

  • 角部に十分なRを付ける
  • 急激な断面変化を避ける
  • 穴やキー溝を高応力部から離す
  • 表面傷、バリ、加工目を減らす
  • 溶接止端部を滑らかに仕上げる

応力集中は、静的強度だけでなく疲労破壊にも大きく影響します。

繰返し荷重を受ける部品では、平均応力よりも、局所的な最大応力と表面状態が寿命を左右します。

応力集中係数や切欠きの考え方を深掘りしたい場合は、応力集中係数Ktとは の記事も参考になります。

 

8. 熱応力と残留応力｜外力がなくても応力は発生する

応力は、外から荷重をかけたときだけ発生するものではありません。

温度変化や加工履歴によって、外力がない状態でも部材内部に応力が生じることがあります。

代表例が、熱応力と残留応力です。

 

熱応力

物体は温度が上がると膨張し、温度が下がると収縮します。

自由に伸び縮みできる状態なら、大きな応力は発生しません。

しかし、両端を固定された部材のように変形が拘束されると、内部に熱応力が発生します。

代表式は次の通りです。

 

\sigma = E\alpha\Delta T

 

  • E：ヤング率 \mathrm{MPa}
  • \alpha：線膨張係数
  • \Delta T：温度変化 \mathrm{K} または ^\circ\mathrm{C}

熱応力は非常に大きくなることがあります。

配管、レール、金型、ヒーター周辺部品、異種材接合部では、温度変化による伸び差を逃がす設計が必要です。

熱膨張や熱応力の設計対策は、熱膨張と熱応力とは？ の記事でも詳しく解説しています。

 

残留応力

残留応力とは、外力を取り除いたあとも材料内部に残る応力です。

溶接、焼入れ、切削加工、研削加工、曲げ加工、ショットピーニングなどで発生します。

残留応力は、悪い方向にも良い方向にも働きます。

残留応力の種類 主な影響 代表例
引張残留応力 亀裂を開きやすくし、疲労や腐食割れに不利 溶接部、研削焼け、急冷部
圧縮残留応力 表面亀裂を開きにくくし、疲労強度向上に有利 ショットピーニング、表面処理、強化ガラス

「外力がないから応力もゼロ」と考えると、残留応力による変形や割れを見落とします。

溶接構造物や熱処理部品では、加工後の反り、割れ、応力腐食割れまで含めて確認することが大切です。

 

9. CAEで見るミーゼス応力と主応力

実際の部品では、引張、圧縮、せん断、曲げ、ねじりが同時に発生します。

単純な F/A だけでは評価できない複雑な応力状態では、CAE解析が有効です。

CAEでよく表示されるのが、ミーゼス応力と主応力です。

 

ミーゼス応力

ミーゼス応力は、複雑な多軸応力状態を、延性材料の降伏判断に使いやすい1つの応力値へ換算したものです。

鉄鋼やアルミのような延性材料では、ミーゼス応力を降伏点や耐力と比較して、塑性変形するかどうかを判断します。

CAE結果で赤く表示された最大ミーゼス応力が、材料の降伏点を超えていれば、形状変更や板厚増加、R追加などを検討します。

ただし、最大値だけを見るのは危険です。

メッシュの粗さ、拘束条件、荷重条件、接触条件によって、局所的なピーク応力が大きく変わることがあります。

ミーゼス応力の意味と主応力との違いは、ミーゼス応力とは｜主応力との違いと降伏条件 も参考になります。

 

主応力

主応力は、ある点の応力状態を、せん断応力がゼロになる面で見たときの垂直応力です。

最大主応力、中間主応力、最小主応力があります。

鋳鉄、セラミックス、ガラスのような脆性材料では、ミーゼス応力よりも最大主応力を重視することがあります。

脆性材料は、せん断による降伏よりも、引張側の割れで破壊しやすいためです。

CAE解析では、材料の破壊モードに応じて、ミーゼス応力、最大主応力、せん断応力を使い分ける必要があります。

 

10. 実務で応力計算するときの注意点

応力計算は、式に数字を入れれば終わりではありません。

実務では、計算前の前提条件を間違えると、正しい式を使っても危険な結果になります。

特に注意したいポイントを整理します。

確認項目 よくあるミス 対策
断面積 穴や溝を無視して総断面で計算する 最小断面、有効断面で評価する
荷重方向 引張・せん断・曲げを混同する 自由物体図で力の向きを整理する
単位 N、kN、mm、mを混在させる 計算前に単位を統一する
応力集中 穴、角、段差の局所応力を無視する R追加、Kt確認、CAEで局所評価する
繰返し荷重 静的強度だけで判断する 疲労強度、表面状態、平均応力を確認する
使用環境 腐食、高温、温度差を考慮しない 材料低下率や環境補正を確認する

 

特に多いのは、単純な引張応力だけを計算し、実際には曲げ応力が支配的だったというケースです。

ブラケットや片持ち部品では、荷重そのものよりも、荷重点から固定部までの距離によって発生する曲げモーメントが重要になります。

また、ボルトやピンでは、軸力、せん断、面圧、曲げが同時に問題になることがあります。

1つの式だけで判断せず、部品がどのように壊れそうかを先にイメージすることが大切です。

 

11. よくある質問

Q1. 応力と圧力の違いは何ですか？

どちらも単位面積あたりの力ですが、使う対象が異なります。

圧力は主に流体や接触面が周囲を押す力を表し、応力は材料内部に発生する抵抗力を表します。

単位はどちらもPaやMPaで表せますが、機械設計では「圧力で荷重が発生し、その荷重によって部材に応力が発生する」と考えると整理しやすいです。

 

Q2. 応力と強度は同じですか？

同じではありません。

応力は、部材に実際に発生している値です。

強度は、材料が耐えられる限界値です。

設計では、発生応力が材料の許容応力以下になるように確認します。

 

Q3. 応力が降伏点を少し超えたら、すぐ破断しますか？

一般的な延性金属では、降伏点を超えるとすぐ破断するわけではありません。

ただし、元に戻らない塑性変形が始まります。

寸法精度や機能が必要な部品では、破断しなくても降伏した時点で設計上はNGになることがあります。

 

Q4. CAEで最大応力が高い部分は必ず危険ですか？

必ずしもそうとは限りません。

点拘束や鋭い角、接触端部などでは、解析上の特異点によって非常に高い応力が出ることがあります。

最大値だけで判断せず、応力分布、メッシュ依存性、周辺の平均的な応力、実際の形状Rを確認することが重要です。

 

Q5. 応力計算で最初に確認すべきことは何ですか？

最初に確認すべきことは、荷重の大きさ、方向、作用点、支持条件です。

次に、どの断面が最も危険かを考えます。

そのうえで、引張、圧縮、せん断、曲げ、ねじりのどれで評価すべきかを決めると、計算の手戻りを減らせます。

 

まとめ

応力とは、外力に対して部材内部に発生する単位面積あたりの抵抗力です。

基本式は \sigma = \dfrac{F}{A} ですが、実務ではこの式だけで安全性を判断することはできません。

引張応力、圧縮応力、せん断応力、曲げ応力、ねじり応力の違いを理解し、部品の壊れ方に合った計算を選ぶ必要があります。

また、許容応力と安全率を使って、発生応力が材料の限界に対して十分な余裕を持っているかを確認します。

穴、段差、角部、溶接部などでは応力集中が発生するため、公称応力だけで判断しないことも重要です。

さらに、熱応力や残留応力のように、外力がなくても発生する応力もあります。

応力計算は、単なる公式暗記ではなく、荷重、形状、材料、環境、加工履歴を総合して判断するための設計技術です。

「どこに、どの種類の応力が、どれだけ発生しているか」を見抜けるようになることが、壊れにくい機械設計への第一歩です。