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ミーゼス応力とは｜主応力との違いと降伏条件を解説

機械工学 機械工学-プロセス

構造解析（CAE）ソフトで計算ボタンを押すと、画面上の部品がカラフルに染まります。

応力の高い場所が赤く、低い場所が青く表示される、おなじみの「コンター図」です。

エンジニアにとって最もエキサイティングであり、同時に最も慎重さが求められる瞬間です。

 

このとき、凡例（カラーバー）に書かれている単位は \text{MPa} です。

しかし、そのラベルをよく見てください。

単に「Stress」ではなく、「Von Mises Stress（ミーゼス応力）」あるいは「Equivalent Stress（相当応力）」と書かれていませんか？

 

「この赤くなっている部分の値は 300MPa です」

設計現場で飛び交うこの会話。しかし、厳密に言えば、材料の内部に「300MPaのミーゼス応力」という物理的な「力」が働いているわけではありません。

ミーゼス応力とは、ベクトルでもテンソルでもなく、複雑な3次元の力のかかり方を、無理やり「引張試験の1次元」に換算した、人間（およびコンピュータ）のための「仮想的なスカラー指標（単なる数値）」なのです。

 

なぜ、X方向の応力やY方向の応力をそのまま見てはいけないのでしょうか？

なぜ、ミーゼス応力は「破壊の判定」において、これほどまでに絶対的な信頼を得ているのでしょうか？

その背景には、金属結合の原子が「滑る」メカニズムと、エネルギー保存の法則が深く関わっています。

 

本記事では、ミーゼスの降伏条件（せん断ひずみエネルギー説）の物理的背景から、主応力を用いた定義式、実務で使う2次元平面応力の計算式、そしてトレスカ説との決定的違いまでを、数式を交えて網羅的に解説します。

CAEの結果をただ眺めるだけでなく、その数値が何を意味しているのかを「計算」で理解できることを目指します。

1. そもそも、なぜ「相当応力」が必要なのか？

材料のカタログ（ミルシート）を見ると、SS400やS45Cといった金属材料の「降伏点（Yield Strength）」が記載されています。

例えば、「降伏点： 245 \text{MPa}」と書かれていたとします。

これは、「単軸引張試験」という、非常に単純な状況で測定された値です。

棒を左右から一方向に引っ張り、 245 \text{MPa} の力がかかった瞬間に伸び始めた（永久変形した）、という事実を示しているに過ぎません。

 

多軸応力状態のジレンマ：通貨換算の必要性

しかし、実際の機械部品は、そんな単純な引っ張りだけを受けることはまずありません。

・X方向に引っ張られながら（ \sigma_x）

・Y方向には圧縮され（ \sigma_y）

・さらに雑巾絞りのようにねじられている（ \tau_{xy}）

 

このように、あらゆる方向から複雑な力がかかる状態を「多軸応力状態」と呼びます。

これをそのまま評価するのは、財布の中に「ドル」と「ユーロ」と「円」が混ざっている状態で、「合計いくら持っているか？」と問われるようなものです。

それぞれの通貨（応力成分）をバラバラに見ていても、資産の合計（破壊のリスク）はわかりません。

 

そこで、「すべての応力成分を、円（単軸引張応力）に換算して合計しよう」という発想が生まれます。

これが「相当応力（Equivalent Stress）」です。

その中でも、鋼鉄やアルミなどの延性材料（金属）に対して、実験結果と驚くほど正確に一致する換算レート（理論）を提唱したのが、リヒャルト・フォン・ミーゼス（Richard von Mises）なのです。

 

2. ミーゼス応力の物理的意味：せん断ひずみエネルギー説

ミーゼス応力の式を丸暗記している人は多いですが、その「物理的な意味」まで説明できる人は稀です。

ミーゼス応力の正体は、材料内部に蓄えられる「歪み（ひずみ）エネルギー」です。

より正確には、「体積変化に関与しない、形状変化だけのエネルギー」を見ています。

 

「体積変化」と「形状変化」の分離

物体にかかる応力（テンソル）は、数学的に以下の2つの成分にきれいに分解できます。

 

1. 静水圧成分（Hydrostatic Stress）

全方向から均等にかかる圧力です（平均応力）。

これは物体を「小さくする（体積を変える）」だけで、形は変えません。

深海のマリアナ海溝（水圧約100MPa）に鉄球を沈めても、鉄球はわずかに収縮するだけで、ペシャンコに潰れたり、塑性変形して歪んだりすることはありません。

金属材料において、静水圧は破壊（降伏）には寄与しないのです。

 

2. 偏差応力成分（Deviatoric Stress）

平均的な圧力からの「ズレ」の成分です。

これが物体を「歪ませる（形状を変える）」働きをします。

正方形を平行四辺形にするような「せん断変形」を引き起こすエネルギーです。

金属の原子結合（金属結合）は、原子面がズルッと滑る（転位の移動）ことで塑性変形を起こします。

この滑りを引き起こすのは、押し潰す力ではなく、ズラす力、すなわち偏差応力成分なのです。

 

ミーゼスの主張

ミーゼスはこう考えました。

「材料が降伏するのは、形状を変えようとするエネルギー（せん断ひずみエネルギー）が、ある限界値（単軸引張で降伏した時のエネルギー）を超えたときである」

 

つまり、複雑な応力状態から、無害な静水圧成分をフィルターのように取り除き、危険な「歪ませるエネルギー」だけを抽出してルートをとった値。

それがミーゼス応力なのです。

 

3. 定義式：3次元主応力による表現

では、具体的な数式を見ていきましょう。

最も基本となるのは、3つの主応力（ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3）を用いた表現です。

主応力とは、せん断応力成分がゼロになるような特定の角度（主軸）で見たときの垂直応力のことです。

（CAEソフト内部では、まず固有値計算を行ってこの主応力を求めています）

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ \dfrac{1}{2} \left\lbrack (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 \right\rbrack }

 

この式の美しさは、「差の二乗」で構成されている点です。

もし、 \sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_3 = P （全方向から均等な圧力）であった場合、どうなるでしょうか？

括弧の中身は (P-P)^2 + (P-P)^2 + (P-P)^2 = 0 となり、ミーゼス応力はゼロになります。

「どれほど高い静水圧がかかっていても、ミーゼス応力（破壊リスク）はゼロである」という物理的事実が、見事に数式で表現されています。

 

判定基準

設計における判定は至ってシンプルです。

 

\sigma_{vm} \leqq \sigma_{Y}

 

計算したミーゼス応力が、材料カタログにある降伏応力 \sigma_Y 以下であれば、どんなに複雑な力がかかっていても、その部品は弾性範囲内にあり、壊れない（永久変形しない）と判断できます。

 

4. 実務式：一般座標系での表現

しかし、実務の手計算では主応力が最初からわかっていることは稀です。

通常、我々が扱うのは、X-Y-Z座標系における6つの応力成分（ \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z, \tau_{xy}, \tau_{yz}, \tau_{zx}）です。

これらを使った一般式は以下のようになります。

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ \dfrac{1}{2} \left\lbrack (\sigma_x - \sigma_y)^2 + (\sigma_y - \sigma_z)^2 + (\sigma_z - \sigma_x)^2 + 6(\tau_{xy}^2 + \tau_{yz}^2 + \tau_{zx}^2) \right\rbrack }

 

非常に長く複雑に見えますが、恐れる必要はありません。

実際の設計現場（板金、シャフト、薄肉容器など）の9割は、次に紹介する「平面応力状態」で近似できるからです。

 

重要：平面応力状態（2次元）での簡略化

薄板や表面など、厚み方向の応力が解放されてゼロ（ \sigma_z = 0, \tau_{yz} = 0, \tau_{zx} = 0）とみなせる場合、式は劇的にシンプルになります。

これが、設計者が暗記すべき「手計算用のミーゼス式」です。

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ \sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3 \tau_{xy}^2 }

 

この式には、以下の重要な特徴があります。

1. 垂直応力 \sigma_x, \sigma_y の二乗和が含まれる（ \sigma_x^2 + \sigma_y^2）。

2. クロス項 -\sigma_x \sigma_y がある（符号がマイナスである点に注意）。異符号の応力（引張と圧縮）が組み合わさると、この項がプラスに働き、ミーゼス応力は大きくなります。

3. せん断応力 \tau_{xy} が「3倍」されて加算される。

 

特に「せん断応力の係数が3」であることは、次の章で解説する「ねじり強度の常識」に直結する極めて重要なファクターです。

 

5. ミーゼスの魔法：なぜ「ルート3」なのか？

機械設計の教本やJISの計算式に、さらっとこんなことが書いてありませんか？

「せん断降伏応力 \tau_Y は、引張降伏応力 \sigma_Y の 1/\sqrt{3} 倍（約0.577倍）とする」

 

なぜ半分（0.5）ではなく、約0.577という半端な数字なのか。

この謎は、ミーゼスの式を使えば一発で解けます。

 

純粋な「ねじり（せん断）」を受ける場合

丸棒を雑巾絞りのようにねじった状態（純粋せん断状態）を考えます。

このとき、引張応力成分はなく、せん断応力だけが存在します。

・引張応力： \sigma_x = 0, \sigma_y = 0

・せん断応力： \tau_{xy} = \tau

 

これを先ほどの「平面応力状態のミーゼス式」に代入してみましょう。

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ 0^2 - 0 + 0^2 + 3 \tau^2 }

\sigma_{vm} = \sqrt{ 3 \tau^2 }

\sigma_{vm} = \sqrt{3} \tau

 

これが意味するのは、「せん断応力 \tau しかかかっていなくても、材料にとっては \sqrt{3} 倍（約1.73倍）の引張応力がかかっているのと同じダメージ（エネルギー）がある」ということです。

材料が降伏するのは、この換算値 \sigma_{vm} が降伏点 \sigma_Y に達したときですから、

 

\sqrt{3} \tau = \sigma_Y

\tau = \dfrac{\sigma_Y}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \sigma_Y

 

これが、設計現場で「せん断強度は引張強度の約6割で見積もれ」と言われる理論的根拠です。

経験則ではなく、エネルギー保存則に基づく厳密な数学的帰結なのです。

 

6. トレスカ説（最大せん断応力説）との比較

ミーゼスと並んで有名なのが、アンリ・トレスカが提唱した「トレスカの降伏条件（最大せん断応力説）」です。

実務ではどちらを使うべきなのでしょうか？

 

判定式の違い

・ミーゼス：歪みエネルギー（全体の平均的な歪み）を見る。

・トレスカ：最大せん断応力（ \tau_{max} = (\sigma_{max} - \sigma_{min})/2）だけを見る。原子面が滑るか滑らないかは、最大のせん断応力だけで決まるはずだ、というシンプルな考え方です。

 

降伏曲面（Yield Surface）の形状

主応力空間（ \sigma_1, \sigma_2 平面）で、「ここより外側なら降伏する」という境界線を描くと、両者の違いが明確になります。

 

・ミーゼス：滑らかな楕円を描きます。

・トレスカ：六角形を描きます。

 

重要なのは、六角形（トレスカ）は、常に楕円（ミーゼス）の内側にすっぽりと収まるか、接しているということです。

楕円の外側には絶対に出ません。

これは、「トレスカの方が、判定が厳しい（安全側に出る）」ことを意味します。

同じ応力状態でも、トレスカで計算した相当応力の方が、ミーゼスよりも最大で約15%ほど大きな値になります。

 

使い分けの基準

・ミーゼス：一般的な金属（鋼、アルミなど延性材料）の実験結果に極めてよく一致します。また、数式が微分可能で滑らかなため、コンピュータ解析（FEM）での収束性が良く、現在のデファクトスタンダードです。

・トレスカ：計算が単純なので、現場での手計算チェックによく使われます。また、圧力容器の規格（ASME等）など、より高い安全性を担保したい分野では、あえて厳しいトレスカ基準を採用することがあります。

 

7. 実践計算事例：軸の強度計算

最後に、実際の設計で最も頻出する「曲げとねじりを同時に受ける軸」の強度計算を行いましょう。

ミーゼス応力を使えば、この複合荷重を一発で評価できます。

 

条件

・材料：S45C 調質材（降伏点 \sigma_Y = 343 \text{MPa}）

・負荷1：プーリーのベルト張力による曲げモーメントで、最大曲げ応力 \sigma_x = 100 \text{MPa}

・負荷2：モーターのトルク伝達により、最大せん断応力 \tau_{xy} = 60 \text{MPa}

（※他の応力成分 \sigma_y 等はゼロとする）

 

この軸は安全でしょうか？それとも降伏するでしょうか？

 

Step 1：個別の応力で判断しない

曲げ応力 100 \text{MPa} は、降伏点 343 \text{MPa} よりずっと低いです。

せん断応力 60 \text{MPa} も、降伏点の約6割（ \approx 200 \text{MPa}）より低いです。

「個別にみれば余裕で安全」に見えます。

しかし、これらが「同時に」かかっているのが問題です。

 

Step 2：ミーゼス応力の計算

平面応力の公式に代入します。

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ \sigma_x^2 - \sigma_x \sigma_y + \sigma_y^2 + 3 \tau_{xy}^2 }

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ 100^2 - 0 + 0 + 3 \times 60^2 }

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ 10000 + 3 \times 3600 }

 

\sigma_{vm} = \sqrt{ 10000 + 10800 } = \sqrt{ 20800 }

 

\sigma_{vm} \approx 144.2 \text{MPa}

 

この結果から、ねじりの影響（10800）が、曲げの影響（10000）と同じくらい支配的であることがわかります。

 

Step 3：安全率の算出

算出されたミーゼス応力は 144.2 \text{MPa} です。

材料の降伏点 343 \text{MPa} と比較します。

 

144.2 < 343

 

したがって、この軸は「降伏しない（安全である）」と判断できます。

安全率 S は以下のように求まります。

 

S = \dfrac{\sigma_Y}{\sigma_{vm}} = \dfrac{343}{144.2} \approx 2.38

 

安全率は約2.4倍です。

一見十分に見えますが、軸にはキー溝などの「切り欠き」がある場合が多く、応力集中係数（ K_t）を考慮すると、局所的には2〜3倍の応力が発生している可能性があります。

FEM解析ではこの応力集中まで含めてミーゼス応力として表示されますが、手計算の場合は、この値にさらに K_t を掛ける必要があることを忘れないでください。

 

まとめ

ミーゼス応力は、複雑怪奇な3次元の力の場を、たった一つの数値「スカラー」に集約する魔法の翻訳機です。

 

・物理的意味：形状を歪ませる「せん断ひずみエネルギー」の総量。

・基本式：3次元の主応力の差の二乗和で表され、静水圧（平均応力）の影響を受けない。

・実務式（2D）： \sqrt{\sigma_x^2 - \sigma_x\sigma_y + \sigma_y^2 + 3\tau_{xy}^2} （これだけは暗記必須！）

・せん断の強度：引張強度の 1/\sqrt{3} （約58%）になる根拠。

・対トレスカ：ミーゼスは実験によく合う。トレスカは計算が楽で安全側（保守的）。

 

CAEの赤いコンター図を見たとき、単に「危ない」と思うだけでなく、「ああ、ここでは原子を滑らせようとするエネルギーが局所的に高まっているのだな」とイメージできれば、対策（リブの追加、フィレットの拡大、肉厚の変更）の質も変わってくるはずです。

ミーゼス応力は、設計者が材料と対話するための、世界共通の言語です。